A step-by-step derivation.

Given that:

\[S = { S_0 }{ e^{ \left( { r - \frac{ { { \sigma^2 } } }{ 2 }} \right) t + \sigma \sqrt t x}}\]

where

\[x \sim N(0,1)\]

we have:

\[\log S = \log{ S_0 } + \left( { r - \frac{ { { \sigma^2} } }{ 2 } } \right)t + \sigma \sqrt t x\]

Let

\[\mu = \log{ S_0 } + \left( {r - \frac{ { { \sigma ^2} } }{ 2 } } \right) t\] \[\sigma' = \sigma \sqrt t\]

the probability desnity function $f_S(S)$ and cumulative distribution function $F_S(S)$ can be written as:

\[{ f_S } \left( S \right) = \frac{ 1 }{ { S\sigma' \sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { \log S - \mu } \right) }^2} } }{ { 2 { \sigma' } ^2 } } } }\] \[{ F_S }\left( S \right) = N \left( { \frac{ { \log S - \mu } }{ { \sigma' } } } \right)\]

Consider the value of a vanilla European call option:

\[\begin{align} \mathbb{ E^Q }\left[ { { e^{ - rt } }{ { \left( { S - K } \right) }^ + } } \right] &= \int\limits_{ - \infty }^{ + \infty } { { e^{ - rt } }{ { \left( { S - K } \right) }^ + }{ f_S }\left( S \right)dS } \\ &= \int\limits_{ - \infty }^K { { e^{ - rt } }{ { \left( { S - K } \right) }^ + }{ f_S }\left( S \right)dS } + \int\limits_K^{ + \infty } { { e^{ - rt } }{ { \left( { S - K } \right) }^ + }{ f_S }\left( S \right)dS } \\ &= \int\limits_K^{ + \infty } { { e^{ - rt } }\left( { S - K } \right){ f_S }\left( S \right)dS } \\ &= \int\limits_K^{ + \infty } { { e^{ - rt } }S{ f_S }\left( S \right)dS } - \int\limits_K^{ + \infty } { { e^{ - rt } }K{ f_S }\left( S \right)dS } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { S{ f_S }\left( S \right)dS } - K{ e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { { f_S }\left( S \right)dS } \end{align}\]

The first term:

\[\begin{align} { e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { S{ f_S }\left( S \right)dS } &= { e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { S\frac{ 1 }{ { S\sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { \log S - \mu } \right) }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } } }dS } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { \log S - \mu } \right) }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } } }dS } \\ &\stackrel{ \small{ y\ =\ \log S } }{ = }{ e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { y - \mu } \right) }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } } }d\left( { { e^y } } \right) } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ { { e^y } } }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { y - \mu } \right) }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left( { y - \mu } \right) }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } + y } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left( { { y^2 } - 2y\mu + { \mu ^2 } - 2\sigma { '^2 }y } \right) } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left[ { { y^2 } - \left( { 2\mu + 2\sigma { '^2 } } \right)y + { \mu ^2 } } \right] } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left[ { { y^2 } - \left( { 2\mu + 2\sigma { '^2 } } \right)y + { { \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) }^2 } - { { \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) }^2 } + { \mu ^2 } } \right] } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left[ { { y^2 } - \left( { 2\mu + 2\sigma { '^2 } } \right)y + { { \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) }^2 } - 2\mu \sigma { '^2 } - \sigma { '^4 } } \right] } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left[ { { { \left( { y - \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) } \right) }^2 } - 2\mu \sigma { '^2 } - \sigma { '^4 } } \right] } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }{ { \left[ { y - \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) } \right] }^2 } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }\left( { - 2\mu \sigma { '^2 } - \sigma { '^4 } } \right) } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ 1 }{ { 2\sigma { '^2 } } }{ { \left[ { y - \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) } \right] }^2 } } }{ e^{ \left( { \mu + \frac{ 1 }{ 2 }\sigma { '^2 } } \right) } }dy } \\ &= { e^{ - rt } }{ e^{ \left( { \mu + \frac{ 1 }{ 2 }\sigma { '^2 } } \right) } }\int\limits_{ \log K }^{ + \infty } { \frac{ 1 }{ { \sigma '\sqrt { 2\pi } } }{ e^{ - \frac{ { { { \left[ { y - \left( { \mu + \sigma { '^2 } } \right) } \right] }^2 } } }{ { 2\sigma { '^2 } } } } }dy } \\ &= { e^{ \left( { -rt + \mu + \frac{ 1 }{ 2 }\sigma { '^2 } } \right) } }\left[ { 1 - N\left( { \frac{ { \log K - \mu - \sigma { '^2 } } }{ { \sigma ' } } } \right) } \right]\\ &= { e^{ \left( { -rt + \mu + \frac{ 1 }{ 2 }\sigma { '^2 } } \right) } }N\left( \frac{ -\log K + \mu + \sigma { '^2 } }{ \sigma' } \right)\\ &= { e^{ - rt + log{ S_0 } + \left( { r - \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t + \frac{ { { \sigma ^2 }t } }{ 2 } } }N\left[ { \frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } }\left( { - \log K + \log{ S_0 } + \left( { r - \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t + { \sigma ^2 }t } \right) } \right]\\ &= { S_0 }{ e^{ - rt + rt - \frac{ { { \sigma ^2 }t } }{ 2 } + \frac{ { { \sigma ^2 }t } }{ 2 } } }N\left[ { \frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } }\left( { \log\frac{ { { S_0 } } }{ K } + \left( { r + \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t } \right) } \right]\\ &= { S_0 }N\left[ { \frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } }\left( { \log\frac{ { { S_0 } } }{ K } + \left( { r + \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t } \right) } \right] \end{align}\]

The second term:

\[\begin{align} - K{ e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { { f_S }\left( S \right)dS } &= - K{ e^{ - rt } }\left[ { 1 - { F_S }\left( K \right) } \right] \\ &= - K{ e^{ - rt } }\left[ { 1 - N\left[ { \frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } } }\left( { \log K - \log{ S_0 } - \left( { r - \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t } \right) \right] } \right] \\ &= - K{ e^{ - rt } }\left[ { 1 - N\left[ { \frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } } }\left( { \log{ \frac{ K }{ S_0 } } - \left( { r - \frac{ { { \sigma ^2 } } }{ 2 } } \right)t } \right) \right] } \right] \\ &= - K{ e^{ - rt } }N\left[\frac{ 1 }{ { \sigma \sqrt t } }\left( { \log\frac{ S_0 }{ K } + \left( r - \frac{ \sigma ^2 }{ 2 } \right)t } \right) \right] \end{align}\]

Combing the two terms, we have:

\[\begin{align} \mathbb{ E^Q }\left[ { { e^{ - rt } }{ { \left( { S - K } \right) }^ + } } \right] &= { e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { S{ f_S }\left( S \right)dS } - K{ e^{ - rt } }\int\limits_K^{ + \infty } { { f_S }\left( S \right)dS } \\ &= { S_0 }N\left( d_1 \right) - K{ e^{ - rt } }N\left( d_2 \right) \end{align}\]

where

\[{d_1} = \frac{1}{ { \sigma \sqrt t } }\left[ { \log\frac{ S_0 }{ K } + \left( r + \frac{ \sigma ^2 }{ 2 } \right)t } \right]\] \[{d_2} = \frac{1}{ { \sigma \sqrt t } }\left[ { \log\frac{ S_0 }{ K } + \left( r - \frac{ \sigma ^2 }{ 2 } \right)t } \right]\]